Rođen je 1958. u Ljubuškom, u zapadnoj Hercegovini gdje je završio osnovnu i srednju školu. Upisao je Pravni fakultet u Zagrebu. Na prijemnom ispitu bio je predzadnji od 1500 kandidata. Diplomirao je nakon dvije godine i deset mjeseci studiranja, a tijekom studija stanovao je u jednom zagrebačkom hotelu. 1979. zaposlio se u odvjetničkom uredu svog oca Mirka u Ljubuškom koji se pretežno bavio naplatom autošteta od osiguravajućih kuća. Svoje usluge nije naplaćivao unaprijed već nakon završenog postupka radeći na postotak.
U uredu je do rata bilo deset do petnaest odvjetnika u prostoru od tisuću kvadrata. Taj posao, koji je bio vrlo unosan, radio je do 1992. Te godine zajedno sa skupinom dioničara sudjelovao je u osnivanju Eurohertz osiguranja. Bio je inicijator osnivanja te tvrtke. Imali su problem s priznavanjem „zelene karte“, te su istu tvrtku osnovali i u Hrvatskoj s istim sastavom dioničara. Euroherc je brzo preuzimao klijente od drugih osiguravajućih kuća jer su u startu davali 50 posto popusta.
Tvrtka je brzo rasla te su 1996. kupili Jadransko osiguranje, 2000. od Miroslava Kutle Mediteran osiguranje a 2004. Atlas osiguranje od Hrvoja Petrača. Već 2005. Grgić je postao predsjednik koncerna Agram koji je tada imao prihod od 2,7 milijardi kuna.
U travnju 1999. je na njega pokušan atentat u Ljubuškom. Napadač ga je dvaput ranio vatrenim oružjem, u desnu ruku i prsni koš. Nakon toga se preselio s obitelji u Zagreb. U početku je dugo godina živio u stanu, a onda je kupio kuću na Tuškancu koju je sagradio arhitekt Stjepan Planić. Zajedno s dvadesetak stoljetnih stabala srušili su je, uz dosta problema s javnošću i građevinskom inspekcijom, i napravili novu.
Važnu ulogu u koncernu Agram ima Grgićeva supruga Mladenka. Porijeklom je iz Tihaljine, sela pokraj Gruda, ali je odrasla u Slavonskom Brodu. Upoznali su se u Zagrebu gdje je i ona studirala pravo. Imaju troje djece: Renatu, Mateju i Mirka. Svi su završili pravo i rade u obiteljskoj tvrtki. Mladenka je izvršna direktorica za međunarodne štete i predsjednica Nadzornog odbora Euroherc osiguranja, ključne tvrtke koja donosi oko trećine prihoda koncerna Agram.
Obitelj Grgić voli luksuzne automobile. Dubravko i Mladenka uglavnom voze one marke Mercedes dok sin Mirko preferira Porsche. Javnost su svojedobno zaokupljali i priče o njihovim jahtama. Prva je bila marke Ferretti i zvala se Klobuk, po mjestu nedaleko Ljubuškog odakle potječe njihova obitelj. Nedugo nakon toga kupili su jahtu Agram vrijednu pedesetak milijuna kuna.
Grgić je vodeći dioničar Agram grupe koja okuplja oko dvadesetak društava, koje drže oko četvrtine hrvatskog osiguravateljskog tržišta. U njemu radi oko 2850 zaposlenika. Procjenjuje se da je vlasnik nekretnina u vrijednosti od oko 12 milijuna eura. Većinu vremena provodi u središtu svoje tvrtke u neboderu u Vukovarskoj ulici u Zagrebu gdje i nakon radnog vremena organizira ručkove i večere za svoje suradnike.
Puši cigarilose, od suradnika traži potpunu odanost, a po medijima se prepričava njegov poslovni moto s klijentima koji stalno ponavlja svojim direktorima: „Uzmi im sve, a ne daj im ništa“. Zbog toga se poslovno, a potom i privatno razišao s brojnim svojim nekada bliskim surdnicima. Čak je i s osmerostrukim kumom završio na sudu.
Grgićevo vlasništvo nad Eurohercom već više od desetljeća i pol osporava skupina nekadašnjih dioničara koje predstavlja poduzetnik iz Ljubuškog Milan Lučić. Tvrde kako ih je Grgić s partnerima izigrao i bespravno im oduzeto dionice ili smanjio njihov udjel u toj tvrtki. Drže kako oni zapravo imaju vlasničku većinu u Eurohercu. Grgić na to odmahuje rukom tvrdeći kako su neki od njih zapravo uzimali kredite za dionice koje poslije nisu otplaćivali. Cijeli spor se odavno vodi pred sudovima koji zasada svojim odlukama zadržavaju postojeći status quo.
Grgić se nedavno pojavio i na sudu u procesu protiv bivšeg hrvatskog premijera Ive Sanadera. Posvjedočio je da mu je Sanader tražio 100 tisuća eura za kampanju koje mu nije htio dati. Grgić je inače dobar i s lijevima i desnima dok su na vlasti. Kada padnu okreće leđa svima. On sam se deklarira ljevičarom, vjerojatno zbog oca Mirka koji je bio povezan s bivšim komunističkim sustavom.
Jednom godišnje za svoje zaposlenike Grgić upriličuje zajedničko vikend druženje sa sportskim nadmetanjem i dobrom, besplatnom, hranom. Zanimljivost je da sudionici tih igara, koji podsjećaju na nekadašnje sletove, stupaju poredani po tvrtkama kao vojnici.
U medijima se svojedobno govorilo i o navodnim poreznim utajama koje su se pripisivale Euroherc osiguranju, ali na kraju ništa nije dokazano. Bio je u sukobu s Hanfom dok joj je načelu bio Ante Samodol, koja je protiv njega bila podigla stotinjak prekršajnih prijava zbog nepravilnosti u njegovom poslovanju. Govorilo se i o stilu Dubravka Grgića u komunikaciji s državnim službenicima koji je bio „sirov, ali ne bez nekog šarma“.
Zadnji se u medijima pojavio njegov sin, Mirko, kada je od kandidatkinja za posao u njihovu koncernu osim uobičajenog curriculuma vitae (CV) zatražio i „golišave fotografije“. Bogatstvo Dubravka Grgića procjenjuje se na približno 200 milijuna eura.
